Ecuación de una onda II. Patricia Diego

Una onda es un conjunto de movimientos armónicos desfasados unos de otros. De modo que la ecuación del primer punto sería

y=Asen(2πt/T +ϕ)

 mientras que los demás puntos tendrían un desfase

y=Asen(2πt/T+ϕ-2πx/λ)

Entre dos puntos, x y z, se produce una diferencia de fase

  2πx/λ - 2πz/λ= 2π(x-z)/λ

•  Si esta diferencia da (x-z)=2λ, es decir, un múltiplo de λ, , quiere decir que los puntos tienen la misma fase y se mueven igual. Si los sumásemos la onda daría el doble.

• Si la diferencia da (2n+1)λ/2, es decir, un múltiplo impar de λ/2, quiere decir que los puntos se mueven igual pero en sentido contrario. Si los sumásemos la onda se anularía.
  

Problema:

De la ecuación de una onda y=0,03sen(πt+2πx) en metros

A)     Hallar las constantes del movimiento

A=0,03m        ϕ=o

ω=2π/T ; T=2π/ω=2π/π=2s

f=1/T=1/2s=0,5Hz

2πx/λ=2πx ; λ=2πx/2πx=1m

Vonda=λ/T=1m/2s=0,5m/s

B)     Representar el aspecto de la onda a los dos segundos.

Si fijamos el tiempo obtenemos el aspecto que tiene la onda, su forma, es decir, como varía la deformación en el espacio. Sería como sacar una foto al movimiento.

            En t=2s 

            y=0,03sen(2π-2πx)

            y dando valores a la x obtenemos la gráfica

C)     Representar la elongación del movimiento en el punto x=2m

Si fijamos la posición en un punto, obtenemos el movimiento de ese punto, es decir, como sube y baja a lo largo del tiempo. Sería como observar como sube y baja una boya con las olas.

En x=2m

y=0,03sen(πt-4π)

y dando valores a t obtenemos la gráfica

También hemos visto como usando estas ecuaciones trigonométricas, pero mucho más complicadas, se puede simular el movimiento del agua con programas informáticos.

http://www.youtube.com/watch?v=vnKX7CaYMqY&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=i7gSH8KNa5I&feature=related
PD: yo tenía unos preciosos dibujos explicativos de paint, pero blogger no quiere publicarlos. Si alguien me ayuda el lunes, completo la entrada.

examen para el lunes

PROBLEMAS:

1. La ecuación del movimiento de una partícula, de masa 100 g, unida al extremo de un resorte viene dada por  x = 0,4 cos (0,7.t – 0,3) m. Se pide calcular:

a) La amplitud y el periodo del movimiento.

b) Calcular la velocidad y la aceleración máxima indicando en que lugar se alcanzan.

c) Representar la deformación del resorte en función del tiempo.

d) Si paramos el movimiento y dejamos que la masa de 100g cuelgue del resorte ¿Cuánto se estirará?

A= 0,4 m  T=8,97s   vmax= 2πA/T = 0,28 m/s  amx= a. (2π/T)² = 0,19 m/s²  y se alcanzan la velocidad máxima en el centro de la oscilación y la aceleración en los extremos

Debemos calcular primero k     T=2πVm/k    k= 4π²m/T² = 0,049 N/m   y al colgar una masa

F=kx   0,1 . 9,8 = 0,049.x    x=20m

2. Tenemos una cuerda de 40 de puenting  y para comprobar su elasticidad colgamos un deportista de 75kg y vemos que se estira 1m.  Nos vamos a practicar nuestro deporte favorito y nos tiramos desde un puente que tiene una altura de 50m.

a) Realizar un croquis del problema en el que se indiquen la posición inicial, la posición de la cuerda sin estirar, la posición de la cuerda cuando ha parado al deportista.

b) Calcular la velocidad del deportista cuando la cuerda está comenzando a estirarse.

c) Calcular la deformación máxima de la cuerda y comentar el resultado.

d) Calcular la velocidad del deportista cuando la cuerda se ha estirado 2 m y comentar el resultado.

Primero calculamos k   F=kx  75.9,8=k.1    k= 735 N/m

La energía potencial del saltador se transforma en energía cinética ya que la cuerda todavía no ha comenzado a actuar:

Mgh = ½ . m .v²    75.9,8.40 = ½ . 75 . v²    v= 28 m/s

Cuando la cuerda comienza a estirarse, la energía cinética se va transformando en energía elástica:

 ½ . m .v²    = ½ . k . A²      A= 8,94 m   logrará frenar antes de chocar con el agua.

Cuando la cuerda se ha estirado 2 m no ha frenado y tiene energía cinética y potencial:

8400 = Ec+ Eelástica    8400= ½.m.v² + ½ . k .x²    8400= ½.m.v² + ½ .735 .2²    v=13,59m/s

CUESTIONES

1.       Tenemos una pistola de balines que lanza proyectiles de plástico con la ayuda de un muelle interno. Queremos tener una idea de la velocidad con la que salen los balines. Indica el procedimiento que seguirías.

Primero tengo que calcular la k del muelle de la pistola. Para ello aplico diversas fuerzas a la pistola y mido la deformación del muelle. Compruebo cuanto vale la k, si  es constante etc.

Después mido el alargamiento máximo del muelle en el momento de cargar la pistola.

Con estos datos conozco la energía elástica en el momento del lanzamiento.

Ahora mido la masa de los balines.

Supongo que toda la energía elástica del muelle se transfiere a los balines como energía cinética y de aquí saco la velocidad.

Puedo comprobar la velocidad con un péndulo balístico como hicimos con la flecha.

2.       Escribe un ejemplo de movimiento armónico que sea amortiguado y otro que no lo sea.

Un movimiento amortiguado puede ser cualquier muelle o péndulo real. El rozamiento con el aire hace que la amplitud disminuya con el tiempo. Un caso extremo son los amortiguadores de los coches con un sistema para que al coger un bache solo den una o media oscilación

Escribe un ejemplo de resonancia entre movimientos armónicos.

La resonancia hace referencia a la transferencia de energía entre los sistemas periódicos cuando sus periodos coinciden. En un columpio si quiero aumentar la amplitud de las oscilaciones debo comunicar energía (con un empujón) con un periodo igual al del columpio.

Si dos niños están en dos columpios paralelos, al moverse uno poco a poco este movimiento se irá transfiriendo al otro, ya que sus periodos son iguales.

3.       Queremos construir un cronómetro para medir segundos con una simple cuerda. ¿Qué pasos deberé seguir?. ¿Funcionará correctamente en la Luna?

Para medir segundos necesito un péndulo que oscile exactamente con un periodo de 1 segundo (aunque también me vale uno que tarde 2 segundos o medio segundo).

Aplicando la fórmula del péndulo simple T=2πVL/g   1=2πVL/9,8   L=0,25m

Ahora con una simple cuerda y una masa construyo un péndulo de longitud 0,25m. Tardará 1 s en realizar una oscilación y lo puedo utilizar como cronómetro.

En la Luna este péndulo o cronómetro no va a funcionar bien. Va a tardar más de 1 s y por tanto debo realizar los cálculos de nuevo y obtener una nueva longitud.

Problemas para el lunes: o para el martes....

Junio 2008 opción problemas 1.

Junio 2013 opción 2  problema 2.

Junio 2010 opción 2 problema 3

Ecuación de una onda. Javier Merino.

Vemos el applet del profesor Tavi Casellas

Ecuación de una onda

La ecuación de una onda es la misma que la utilizada en un muelle, para el primer punto de la onda. Los  los siguientes puntos habrá que sumarles el desfase correspondiente. De esta manera, la ecuación quedaría:

-Para el primer punto:                y = A sen (2πt/T + φ)

-Para los siguientes puntos:        y = A sen (2πt/T ± 2πx/λ + φ)  
signo - si la onda se mueve hacia la izquierda

signo + si la onda se mueve hacia la derecha

± 2πx/λ   desfase entre unos puntos y otros de la onda.
 Siendo:

 A = amplitud                  T = periodo                  λ= longitud de onda                           φ = fase

Vídeo de el experimento realizado por mí, funciona a la perfección.

MOVIMIENTO ONDULATORIO. Paula Álvarez.

Para hacer una onda hace falta un medio elástico como: el agua, el aire, el terreno... Un ejemplo de medio no elástico es la plastilina.

Hay tres tipos de onda:

1. Onda de pulso, la cual deforma el medio elástico en un sitio y produce una onda.
2. Onda normal o viajera, pulsos uno detrás de otro.
3. Onda estacionaria, es aquella que no viaja.

Dependiendo de la longitud de onda, representada por landa (λ), hay ondas que se pueden concentrar mejor o peor.
También podemos clasificar las ondas según la forma de vibrar:
a) Ondas longitudinales. La vibración se produce en la dirección del movimiento de la onda  un ejemplo son las ondas sonoras. También son de este tipo las ondas "p" de los terremotos.
b) Ondas transversales. la vibración es perpendicular al movimiento. Un ejemplo de estas ondas es la luz. ( y las demás ondas electromagnéticas) Otro ejemplo son las típicas ondas en el agua. también son transversales las ondas "s" de los terremotos.

Podemos clasificar las ondas según lo que esté oscilando:
a) Ondas materiales. En este caso lo que oscila es la materia, las moléculas de los materiales. En el sonido son las moléculas del aire o de otro medio las que oscilan.
b) Ondas electromagnéticas. Lo que oscila es el campo eléctrico y magnético. Se pueden transmitir en el vacío (y desde luego en los materiales) ya que tenemos campo eléctrico.
c) Ondas gravitacionales. Algunos científicos proponen que puede haber ondas en el campo gravitatorio como en esta noticia: 


¿Cómo calcular la velocidad de una onda?
Cronometramos lo que tarda la onda en ir y volver tres veces, a una distancia de una 6 metros, de modo que el recorrido total son 36 metros. El tiempo obtenido es 3,78s, así que utilizando la fórmula de V= E/t calculamos una velocidad de 9,52 m/s

El sonido es una onda, y viaja más rápido en el hierro que en el agua o el aire, ya que tiene más tensión (fuerza)

Experimento del movimiento mediante el sonido

El movimiento vibratorio de la primera copa produce una onda sonora que se transmite por el aire y crea (por resonancia) otro movimiento armónico en la segunda copa.

Un accidente en el pasillo

Unos alumnos de bachillerato están haciendo un experimento con muelles Para ello unen tres muelles (uno detrás de otro)y los estiran 10m en total.En ese momento se sueltan de manera que dos muelles van para un lado y otro para el otro.
Calcular la velocidad del impacto de cada muelle.
Si el golpe en un caso fue en la tripa y en otro en zonas muy "sensibles" ¿Qué alumno fue más perjudicado?
Nota: este alumno se llama Fernando.
datos: los muelles se estiran 35cm al aplicar una fuerza de 1N
masa del muelle: 70g

Primero calculamos K..    F=-kx     k= 1/0,35= 0,28 N/m

cada  muelle se estira 3,3m   adquiere una energía de E=1/2.k.x2 = 1,52J

que se transforma en energía cinética   1/2.m.v2= 1,52     v= 6,6m/s = 24 km/h

Un alumno recibe una energía de 1,52J; el otro recibe una energía de 3,04J. Dado que el primer impacto fue menos energético y además en una zona más protegida sufrió mucho menos daño.


Página con problemas resueltos:

Problema para pensar.
Ponemos una moneda de 1 Euro en la mano. Realizamos con la masa un movimiento armónico simple. Vamos aumentando la frecuencia de vibración de la mano.
¿Perderá contacto la moneda con la mano?
¿En caso afirmativo indicar en que zona del movimiento tendrá más posibilidades de ocurrir?
¿Qué frecuencia tiene que tener la mano para perder contacto con la moneda?

tarea jueves

junio 2009 cuestión A

junio 2003 cuestión A

junio 1999  cuestión B

junio 2007 cuestión A

Estudiar amortiguamiento y resonancia.

algunos problemas en el puente del Milenio en Londres.

Problemas de m.a.s.

Podemos intentar diversos problemas de selectividad de UNICAN
páginas de fqcolindres selectividad de cantabria

septiembre 2012  examen 2 problema 2
junio 2011 examen 2 problema 2
junio 2008 cuestión A
septiembre 2007 problemas opción 1 1 problema

4 recomendados

Este es un video en el que se ve el impacto de un coche a 200 km/h contra un muro de hormigón. Y se observa el efecto de muelle que tiene éste en el momento del impacto.
página 19 5, 6, 7 10

Algunas situaciones para pensar

La formula de la energía elásticas nos permite resolver interesantes cuestiones prácticas.

1. Una cuerda de escalada mide 40 m y si se cuelga una persona de 80 kg se estira 50 cm. Un escalador está en una pared y está situado  15 metros por encima del último seguro instalado. Está intentando asegurarse cuando se cae. 

a) Constante elástica de la cuerda.
b) Energía que tendrá el escalador cuando comience a frenarle la cuerda.
c) Estiramiento máximo de la cuerda.
d) Fuerza máxima que realiza la cuerda.
e) ¿Se romperá la cuerda?.  Busca datos sobre la resistencia de las cuerdas de escalada.


2. Un coche circula a 120 km/h. Su masa es de 950 kg. Choca contra un obstáculo rígido y se dobla como si fuera un muelle. Podemos suponer que se deforma la delantera del coche (aprox: 1,20m)
a) Constante elástica del coche.
b) Máxima fuerza que realiza el coche.
c) Aceleración máxima.
d) Si el dueño del coche a instalado un parachoques supletorio mucho más rígido que solo se deforma 20cm. ¿Qué cambios tendremos en los resultados?

3. Opcional. Para entregar en papel.

Un arco es un dispositivo elástico que almacena energía al estirarse. Al soltar esta energía se transforma en energía cinética de la flecha ( más lo que se pierda en el propio arco al soltarse que podemos suponer es despreciable).
Al estirar un arco se han obtenido los siguientes valores de la fuerza y la deformación:

Estiramiento del arco cm	5	10	15	20	30	40
Fuerza necesaria N	12	22	37	55	77	105

Cuando el arco está estirado 35 cm se coloca una flecha de 80g. Se suelta y se lanza sobre la diana.

Choca con un objeto que pesa 10 kg 

a) ¿Responde a a ley de Hooke el arco?  ¿Qué constante elástica tiene el arco?

b) ¿Qué energía almacena el arco si le estiramos 35 cm?

c) ¿Que velocidad adquiere la flecha cuando sale del arco?

d) ¿Qué velocidad adquiere el objeto cuando choca la flecha con él?

e) Si el objeto es un péndulo de 1,80 de longitud ¿Que amplitud tendrán sus oscilaciones?

Algunas cuestiones curiosas

Sobre la resonancia.

Dos problemas de m.a.s

1.Problema 03

Un cuerpo oscila con M.A.S. a lo largo del eje x, su desplazamiento varia de acuerdo a la ecuación x(t) = 4 sen(pi*t+pi/4). Donde t esta en segundos, A esta en metros y los ángulos están en radianes. Calcular a) La amplitud A,la frecuencia f y el periodo T del movimiento. b) La velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante t. c) Basándose en el resultado obtenido en la parte b, obtenga la velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1s

Problema 05 

Si una partícula de masa de 5 gr se mueve con MAS de 6cm de amplitud a lo largo del eje x, en el instante inicial t=0 su elongación es de 0cm  y  un segundo mas tarde su elongación es de 6cm. Hallar a) La fase inicial y la frecuencia del movimiento. b) Función matemática que representa la elongación en función del tiempo. c) Valores máximos de la velocidad y de la aceleración de la partícula, así como las posiciones donde las alcanza. d) La fuerza que actúa sobre la partícula cuando t=1s.

Problemas con la ecuación del movimiento armónico simple.

Ejercicio de selectividad 201o

applet del m.a.s.   animación sobre la caída de un bloque en un muelle

Examen de otros cursos.



a disfrutar.

Clase del jueves y tarea.

Vamos a completar esta tabla con valores del movimiento de un muelle:

	Centro	Extremo derecho/arriba	Extremo izquierdo/abajo	Punto Cualquiera
Posición :x	0	+A	-A	Asen(wt+φ)
Velocidad: dx/dt	± Aw	0	0	Aw cos(wt+φ)
Aceleración:  a=dv/dt	0	-Aw2	Aw2	-Aw2 sen(wt+φ) = -w2x
Fuerza f= m.a = -kx	0	-mAw2	mAw2	-mAw2 sen(wt+φ) = -mw2x k = mw2
Energía cinética ½.m.v2	½.m.A2w2	0	½.m.A2w2	½.m.( Aw cos(wt+φ))2
Energía elástica ½ . k .x2	0	½.k.A2	0	½.k.( Asen(wt+φ))2
Energía total constante en ausencia de rozamiento:  ½.k.A2     1/2mA2w2

Estudiamos el movimiento de un muelle en el laboratorio y representamos x(t):

la posición en función del tiempo es una función seno. La más general posible es: Asen(wt+φ)

A es la amplitud. valor máximo de x.

w. es la pulsación. está relacionada con el periodo  w=2.π/T = 2.π.f

φ. es la fase. Nos sirve para calcular donde comenzamos la gráfica. 

la velocidad se puede obtener derivando la posición. v= dx/dt = Aw cos(wt+φ)

Tiene un valor máximo en el centro de la oscilación vmax = Aw  y vale 0 en los extremos.


la aceleración se puede obtener derivando la velocidad a= dv/dt = -Aw² sen(wt+φ) = -w²x
Tiene valores máximos en los extremos del movimiento y vale 0 en el centro.

Problemas para casa:

 1. La elongación  o posición de un móvil que describe un m.a.s., viene dada, en función del tiempo, por la expresión: s = 2·sen(p·t +p/4) (Sistema Internacional). Determinar:

a)      Amplitud, frecuencia, periodo y fase del movimiento.

b)     Velocidad y aceleración del móvil en función del tiempo.

c)      Posición, velocidad y aceleración del móvil en t = 1 s.

d)      Velocidad y aceleración máximas del móvil.

f)        Desplazamiento experimentado por el móvil entre t = 0 y t = 1 s.

 2. Un móvil describe un m.a.s. De 5 cm de amplitud y 1,25 s de periodo. Escribir la ecuación de su elongación (posición) sabiendo que en el instante inicial la elongación es máxima y positiva.

Seguimos el jueves

Las cuerdas de escalada son elásticas para poder absorber la energía que tienen los escaladores en caso de caída. Se comportan como un muelle de tal manera que podemos suponer que al estar colgado un escalador el estiramiento de una cuerda de 40m es por lo menos de 2,5 m.
a) Calcular la constante elástica de la cuerda.
b) Aproximadamente el periodo del movimiento que se produce en caso de caída del escalador.


Ver y probar esta práctica animada:

Trabajo para el lunes y martes

Problemas familiares graves me retienen en Burgos. El miércoles nos vemos pero es importante que aprovechemos el tiempo.
Apuntes. Preguntas 3, 4 y 5:
-Magnitudes del movimiento armónico.
- Posición en el movimiento armónico.
- Velocidad en el movimiento armónico.

Hacer un resumen de la teoría aprendida.
Explicar para qué sirven esas ecuaciones.

Problemas 2, 3 y 9 del final en la parte de selectividad.  O buscar problemas de selectividad que se puedan hacer con las preguntas anteriores.